本文利用史密斯圓圖作為RF阻抗匹配的設(shè)計(jì)指南。文中給出了反射系數(shù)、阻抗和導(dǎo)納的作圖范例，并用作圖法設(shè)計(jì)了一個(gè)頻率為60MHz的匹配網(wǎng)絡(luò)。
實(shí)踐證明：史密斯圓圖仍然是計(jì)算傳輸線阻抗的基本工具。
在處理RF系統(tǒng)的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題時(shí)，總會(huì)遇到一些非常困難的工作，對(duì)各部分級(jí)聯(lián)電路的不同阻抗進(jìn)行匹配就是其中之一。一般情況下，需要進(jìn)行匹配的電路包括天線與低噪聲放大器(LNA)之間的匹配、功率放大器輸出(RFOUT)與天線之間的匹配、LNA/VCO輸出與混頻器輸入之間的匹配。匹配的目的是為了保證信號(hào)或能量有效地從“信號(hào)源”傳送到“負(fù)載”。
在高頻端，寄生元件(比如連線上的電感、板層之間的電容和導(dǎo)體的電阻)對(duì)匹配網(wǎng)絡(luò)具有明顯的、不可預(yù)知的影響。頻率在數(shù)十兆赫茲以上時(shí)，理論計(jì)算和仿真已經(jīng)遠(yuǎn)遠(yuǎn)不能滿(mǎn)足要求，為了得到適當(dāng)?shù)淖罱K結(jié)果，還必須考慮在實(shí)驗(yàn)室中進(jìn)行的RF測(cè)試、并進(jìn)行適當(dāng)調(diào)諧。需要用計(jì)算值確定電路的結(jié)構(gòu)類(lèi)型和相應(yīng)的目標(biāo)元件值。
有很多種阻抗匹配的方法，包括:計(jì)算機(jī)仿真: 由于這類(lèi)軟件是為不同功能設(shè)計(jì)的而不只是用于阻抗匹配，所以使用起來(lái)比較復(fù)雜。設(shè)計(jì)者必須熟悉用正確的格式輸入眾多的數(shù)據(jù)。設(shè)計(jì)人員還需要具有從大量的輸出結(jié)果中找到有用數(shù)據(jù)的技能。另外，除非計(jì)算機(jī)是專(zhuān)門(mén)為這個(gè)用途制造的，否則電路仿真軟件不可能預(yù)裝在計(jì)算機(jī)上。
手工計(jì)算: 這是一種極其繁瑣的方法，因?yàn)樾枰玫捷^長(zhǎng)(“幾公里”)的計(jì)算公式、并且被處理的數(shù)據(jù)多為復(fù)數(shù)。
經(jīng)驗(yàn): 只有在RF領(lǐng)域工作過(guò)多年的人才能使用這種方法。總之，它只適合于資深的專(zhuān)家。
史密斯圓圖:本文要重點(diǎn)討論的內(nèi)容。
本文的主要目的是復(fù)習(xí)史密斯圓圖的結(jié)構(gòu)和背景知識(shí)，并且總結(jié)它在實(shí)際中的應(yīng)用方法。討論的主題包括參數(shù)的實(shí)際范例，比如找出匹配網(wǎng)絡(luò)元件的數(shù)值。當(dāng)然，史密斯圓圖不僅能夠?yàn)槲覀冋页鲎畲蠊β蕚鬏數(shù)钠ヅ渚W(wǎng)絡(luò)，還能幫助設(shè)計(jì)者優(yōu)化噪聲系數(shù)，確定品質(zhì)因數(shù)的影響以及進(jìn)行穩(wěn)定性分析。
圖1. 阻抗和史密斯圓圖基礎(chǔ)
基礎(chǔ)知識(shí)
在介紹史密斯圓圖的使用之前，最好回顧一下RF環(huán)境下(大于100MHz) IC連線的電磁波傳播現(xiàn)象。這對(duì)RS-485傳輸線、PA和天線之間的連接、LNA和下變頻器/混頻器之間的連接等應(yīng)用都是有效的。
大家都知道，要使信號(hào)源傳送到負(fù)載的功率最大，信號(hào)源阻抗必須等于負(fù)載的共軛阻抗，即：Rs + jXs = RL - jXL
圖2. 表達(dá)式Rs + jXs = RL - jXL的等效圖
在這個(gè)條件下，從信號(hào)源到負(fù)載傳輸?shù)哪芰孔畲?。另外，為有效傳輸功率，滿(mǎn)足這個(gè)條件可以避免能量從負(fù)載反射到信號(hào)源，尤其是在諸如視頻傳輸、RF或微波網(wǎng)絡(luò)的高頻應(yīng)用環(huán)境更是如此。
史密斯圓圖
史密斯圓圖是由很多圓周交織在一起的一個(gè)圖。正確的使用它，可以在不作任何計(jì)算的前提下得到一個(gè)表面上看非常復(fù)雜的系統(tǒng)的匹配阻抗，唯一需要作的就是沿著圓周線讀取并跟蹤數(shù)據(jù)。
史密斯圓圖是反射系數(shù)(伽馬，以符號(hào)
表示)的極座標(biāo)圖。反射系數(shù)也可以從數(shù)學(xué)上定義為單端口散射參數(shù)，即s11。
史密斯圓圖是通過(guò)驗(yàn)證阻抗匹配的負(fù)載產(chǎn)生的。這里我們不直接考慮阻抗，而是用反射系數(shù)
L，反射系數(shù)可以反映負(fù)載的特性(如導(dǎo)納、增益、跨導(dǎo))，在處理RF頻率的問(wèn)題時(shí)，
L更加有用。
我們知道反射系數(shù)定義為反射波電壓與入射波電壓之比:
圖3. 負(fù)載阻抗
負(fù)載反射信號(hào)的強(qiáng)度取決于信號(hào)源阻抗與負(fù)載阻抗的失配程度。反射系數(shù)的表達(dá)式定義為：
由于阻抗是復(fù)數(shù)，反射系數(shù)也是復(fù)數(shù)。
為了減少未知參數(shù)的數(shù)量，可以固化一個(gè)經(jīng)常出現(xiàn)并且在應(yīng)用中經(jīng)常使用的參數(shù)。這里Zo (特性阻抗)通常為常數(shù)并且是實(shí)數(shù)，是常用的歸一化標(biāo)準(zhǔn)值，如50
、75
、100
和600
。于是我們可以定義歸一化的負(fù)載阻抗：
據(jù)此，將反射系數(shù)的公式重新寫(xiě)為：
從上式我們可以看到負(fù)載阻抗與其反射系數(shù)間的直接關(guān)系。但是這個(gè)關(guān)系式是一個(gè)復(fù)數(shù)，所以并不實(shí)用。我們可以把史密斯圓圖當(dāng)作上述方程的圖形表示。
為了建立圓圖，方程必需重新整理以符合標(biāo)準(zhǔn)幾何圖形的形式(如圓或射線)。
首先，由方程2.3求解出；
并且
令等式2.5的實(shí)部和虛部相等，得到兩個(gè)獨(dú)立的關(guān)系式：
重新整理等式2.6，經(jīng)過(guò)等式2.8至2.13得到最終的方程2.14。這個(gè)方程是在復(fù)平面(
r,
i)上、圓的參數(shù)方程(x-a)2 + (y-b)2 = R2，它以(r/r+1, 0)為圓心，半徑為1/1+r.
更多細(xì)節(jié)參見(jiàn)圖4a。
圖4a. 圓周上的點(diǎn)表示具有相同實(shí)部的阻抗。例如，R＝1的圓，以(0.5, 0)為圓心，半徑為0.5。它包含了代表反射零點(diǎn)的原點(diǎn)(0, 0) (負(fù)載與特性阻抗相匹配)。以(0，0)為圓心、半徑為1的圓代表負(fù)載短路。負(fù)載開(kāi)路時(shí)，圓退化為一個(gè)點(diǎn)(以1，0為圓心，半徑為零)。與此對(duì)應(yīng)的是最大的反射系數(shù)1，即所有的入射波都被反射回來(lái)。
在作史密斯圓圖時(shí)，有一些需要注意的問(wèn)題。下面是最重要的幾個(gè)方面：所有的圓周只有一個(gè)相同的，唯一的交點(diǎn)(1, 0)。
代表0
、也就是沒(méi)有電阻(r = 0)的圓是最大的圓。
無(wú)限大的電阻對(duì)應(yīng)的圓退化為一個(gè)點(diǎn)(1, 0)
實(shí)際中沒(méi)有負(fù)的電阻，如果出現(xiàn)負(fù)阻值，有可能產(chǎn)生振蕩。
選擇一個(gè)對(duì)應(yīng)于新電阻值的圓周就等于選擇了一個(gè)新的電阻。
作圖
經(jīng)過(guò)等式2.15至2.18的變換，2.7式可以推導(dǎo)出另一個(gè)參數(shù)方程，方程2.19。
同樣，2.19也是在復(fù)平面(
r,
i)上的圓的參數(shù)方程(x-a)2 + (y-b)2 = R2,它的圓心為(1, 1/x)，半徑1/x。
更多細(xì)節(jié)參見(jiàn)圖4b。
圖4b. 圓周上的點(diǎn)表示具有相同虛部x的阻抗。例如，x=1的圓以(1, 1)為圓心，半徑為1。所有的圓(x為常數(shù))都包括點(diǎn)(1, 0)。與實(shí)部圓周不同的是，x既可以是正數(shù)也可以是負(fù)數(shù)。這說(shuō)明復(fù)平面下半部是其上半部的鏡像。所有圓的圓心都在一條經(jīng)過(guò)橫軸上1點(diǎn)的垂直線上。
完成圓圖
為了完成史密斯圓圖，我們將兩簇圓周放在一起?？梢园l(fā)現(xiàn)一簇圓周的所有圓會(huì)與另一簇圓周的所有圓相交。若已知阻抗為r + jx，只需要找到對(duì)應(yīng)于r和x的兩個(gè)圓周的交點(diǎn)就可以得到相應(yīng)的反射系數(shù)。
可互換性
上述過(guò)程是可逆的，如果已知反射系數(shù)，可以找到兩個(gè)圓周的交點(diǎn)從而讀取相應(yīng)的r和x的值。過(guò)程如下：確定阻抗在史密斯圓圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)
找到與此阻抗對(duì)應(yīng)的反射系數(shù) (
)
已知特性阻抗和
，找出阻抗
將阻抗轉(zhuǎn)換為導(dǎo)納
找出等效的阻抗
找出與反射系數(shù)對(duì)應(yīng)的元件值(尤其是匹配網(wǎng)絡(luò)的元件，見(jiàn)圖7)
推論
因?yàn)槭访芩箞A圖是一種基于圖形的解法，所得結(jié)果的精確度直接依賴(lài)于圖形的精度。下面是一個(gè)用史密斯圓圖表示的RF應(yīng)用實(shí)例：
例: 已知特性阻抗為50
，負(fù)載阻抗如下：
Z1 = 100 + j50
Z2 = 75 -j100
Z3 = j200
Z4 = 150
Z5 =
(開(kāi)路)Z6 = 0 (短路)Z7 = 50
Z8 = 184 -j900
對(duì)上面的值進(jìn)行歸一化并標(biāo)示在圓圖中(見(jiàn)圖5)：
z1 = 2 + jz2 = 1.5 -j2z3 = j4z4 = 3
z5 = 8z6 = 0z7 = 1z8 = 3.68 -j18S
圖5. 史密斯圓圖上的點(diǎn)
現(xiàn)在可以通過(guò)圖5的圓圖直接解出反射系數(shù)
。畫(huà)出阻抗點(diǎn)(等阻抗圓和等電抗圓的交點(diǎn))，只要讀出它們?cè)谥苯亲鴺?biāo)水平軸和垂直軸上的投影，就得到了反射系數(shù)的實(shí)部
r和虛部
i (見(jiàn)圖6)。
該范例中可能存在八種情況，在圖6所示史密斯圓圖上可以直接得到對(duì)應(yīng)的反射系數(shù)
：
1 = 0.4 + 0.2j 2 = 0.51 - 0.4j 3 = 0.875 + 0.48j 4 = 0.5
5 = 1 6 = -1 7 = 0 8 = 0.96 - 0.1j
圖6. 從X-Y軸直接讀出反射系數(shù)
的實(shí)部和虛部
用導(dǎo)納表示
史密斯圓圖是用阻抗(電阻和電抗)建立的。一旦作出了史密斯圓圖，就可以用它分析串聯(lián)和并聯(lián)情況下的參數(shù)?？梢蕴砑有碌拇?lián)元件，確定新增元件的影響只需沿著圓周移動(dòng)到它們相應(yīng)的數(shù)值即可。然而，增加并聯(lián)元件時(shí)分析過(guò)程就不是這么簡(jiǎn)單了，需要考慮其它的參數(shù)。通常，利用導(dǎo)納更容易處理并聯(lián)元件。
我們知道，根據(jù)定義Y = 1/Z，Z = 1/Y。導(dǎo)納的單位是yqdkh或者
-1 (早些時(shí)候?qū)Ъ{的單位是西門(mén)子或S)。并且，如果Z是復(fù)數(shù)，則Y也一定是復(fù)數(shù)。
所以Y = G + jB (2.20),其中G叫作元件的“電導(dǎo)”，B稱(chēng)“電納”。在演算的時(shí)候應(yīng)該小心謹(jǐn)慎，按照似乎合乎邏輯的假設(shè)，可以得出：G = 1/R及B = 1/X，然而實(shí)際情況并非如此，這樣計(jì)算會(huì)導(dǎo)致結(jié)果錯(cuò)誤。
用導(dǎo)納表示時(shí)，第一件要做的事是歸一化， y = Y/Yo，得出 y = g + jb。但是如何計(jì)算反射系數(shù)呢？通過(guò)下面的式子進(jìn)行推導(dǎo)：
結(jié)果是G的表達(dá)式符號(hào)與z相反，并有
(y) = -
(z).
如果知道z，就能通過(guò)將的符號(hào)取反找到一個(gè)與(0，0)的距離相等但在反方向的點(diǎn)。圍繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°可以得到同樣的結(jié)果。(見(jiàn)圖7).
圖7. 180°度旋轉(zhuǎn)后的結(jié)果
當(dāng)然，表面上看新的點(diǎn)好像是一個(gè)不同的阻抗，實(shí)際上Z和1/Z表示的是同一個(gè)元件。(在史密斯圓圖上，不同的值對(duì)應(yīng)不同的點(diǎn)并具有不同的反射系數(shù)，依次類(lèi)推)出現(xiàn)這種情況的原因是我們的圖形本身是一個(gè)阻抗圖，而新的點(diǎn)代表的是一個(gè)導(dǎo)納。因此在圓圖上讀出的數(shù)值單位是yqdkh。
盡管用這種方法就可以進(jìn)行轉(zhuǎn)換，但是在解決很多并聯(lián)元件電路的問(wèn)題時(shí)仍不適用。
導(dǎo)納圓圖
在前面的討論中，我們看到阻抗圓圖上的每一個(gè)點(diǎn)都可以通過(guò)以
復(fù)平面原點(diǎn)為中心旋轉(zhuǎn)180°后得到與之對(duì)應(yīng)的導(dǎo)納點(diǎn)。于是，將整個(gè)阻抗圓圖旋轉(zhuǎn)180°就得到了導(dǎo)納圓圖。這種方法十分方便，它使我們不用建立一個(gè)新圖。所有圓周的交點(diǎn)(等電導(dǎo)圓和等電納圓)自然出現(xiàn)在點(diǎn)(-1, 0)。使用導(dǎo)納圓圖，使得添加并聯(lián)元件變得很容易。在數(shù)學(xué)上，導(dǎo)納圓圖由下面的公式構(gòu)造：
解這個(gè)方程
接下來(lái)，令方程3.3的實(shí)部和虛部相等，我們得到兩個(gè)新的獨(dú)立的關(guān)系：
從等式3.4，我們可以推導(dǎo)出下面的式子：
它也是復(fù)平面 (
r,
i)上圓的參數(shù)方程(x-a)2 + (y-b)2 = R2 (方程3.12)，以(-g/g+1, 0)為圓心，半徑為1/(1+g)。